La tarea llevada a cabo por los biólogos pesqueros
generalmente requiere una considerable cantidad de análisis estadísticos; y en
consecuencia la mayoría de los cursos de biología pesquera incluyen estadística
elemental, por lo menos.
Lo más frecuente, sin embargo, es que la falta de práctica
determine que se olvide lo aprendido, lo cual implica que una muy valiosa
herramienta de trabajo permanezca poco utilizada.
Este capítulo pretende revisar breve mente dos técnicas
estadísticas de gran importancia - análisis de regresión y de correlación - así
como indicar algunos de sus más comunes campos de aplicación por parte de los
biólogos pesqueros.
Regresión lineal
Expresándolo en forma simple, la regresión lineal es una
técnica que permite cuantificar la relación que puede ser observada cuando se
grafica un diagrama de puntos dispersos correspondientes a dos variables, cuya
tendencia general es rectilínea (Figura la); relación que cabe compendiar
mediante una ecuación “del mejor ajuste” de la forma:
y = a + bx
|
(1)
|
En esta ecuación, “y” representa los valores de la coordenada
a lo largo del eje vertical en el gráfico (ordenada); en tanto que “x” indica
la magnitud de la coordenada sobre el eje horizontal (absisa). El valor de “a”
(que puede ser negativo, positivo o igual a cero) es llamado el intercepto;
en tanto que el valor de “b” (el cual puede ser negativo o positivo) se
denomina la pendiente o coeficiente de regresión.
Tabla 1
Serie de datos para el cálculo de una regresión (“a” y “b”) y del coeficiente de correlación (“r”) |
|||||
Número
|
Valores de x
|
Valores de y
|
Número
|
Valores de x
|
Valores de y
|
1
|
9,0
|
0,50
|
7
|
6,7
|
1,00
|
2
|
9,4
|
0,50
|
8
|
8,4
|
0,50
|
3
|
7,4
|
1,23
|
9
|
8,0
|
0,50
|
4
|
9,7
|
1,00
|
10
|
10,0
|
0,50
|
5
|
10,4
|
0,30
|
11
|
9,2
|
0,50
|
6
|
5,0
|
1,50
|
12
|
6,2
|
1,00
|
13
|
7,7
|
0,50
|
|||
El procedimiento para obtener valores de “a” y “b” para una
serie de pares de datos de “x” y de “y” (tal como la presentada en la Figura 1
y/o en la Tabla 1) es como sigue:
Paso 1
|
Calcule, para cada par de valores de “x” e “y”, las
cantidades “x²”, “y²”, y “x.y”.
|
Paso 2
|
Obtenga las sumas (∑) de estos valores para todos los pares
de datos de “x” e “y”, así como las sumas del total de los valores de “x” e
“y”. Los resultados de los Pasos 1 y 2 aparecerán en forma similar a la
siguiente:
|
Número de pares de datos
|
x
|
x²
|
y
|
y²
|
x.y
|
1
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
2
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
3
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
·
|
|||||
·
|
|||||
·
|
|||||
n
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
Monto de las sumas
|
∑x
|
∑x²
|
∑y
|
∑y²
|
∑x·y
|
 |
|
Paso 4
Estime el intercepto (a) por medio de la relación: |
|
 |
A partir de esos valores de “a” y de “b” obtenidos mediante
las Ecuaciones 2 y 3, es posible trazar a lo largo de los puntos dispersos de
un gráfico la línea recta mejor ajustada a los mismos, y verificar visualmente
si tales puntos están bien “expresados” por la línea (Figura 1b).
Correlación
El análisis de correlación se encuentra estrechamente
vinculado con el análisis de regresión y ambos pueden ser considerados de hecho
como dos aspectos de un mismo problema.
La correlación entre dos variables es - otra vez puesto en
los términos más simples - el grado de asociación entre las mismas. Este es
expresado por un único valor llamado coeficiente de correlación (r), el cual
puede tener valores que oscilan entre -1 y +1. Cuando “r” es negativo, ello
significa que una variable (ya sea “x” o “y”) tiende a decrecer cuando la otra
aumenta (se trata entonces de una “correlación negativa”, correspondiente a un
valor negativo de “b” en el análisis de regresión). Cuando “r” es positivo, en
cambio, esto significa que una variable se incrementa al hacerse mayor la otra
(lo cual corresponde a un valor positivo de “b” en el análisis de regresión).
Los valores de “r” pueden calcularse fácilmente en base a una
serie de pares de datos de “x” e “y”, utilizando la misma table y montos que se
indican en el Paso 2 de la sección “regresión” de este capítulo. De este modo
“r” puede ser obtenido - indirectamente - a partir de la relación:
Figura 1a Diagrama de puntos dispersos correspondientes
a pares de valores de “x” y de “y”. Nótese que “y” tiende a decrecer con el
aumento de “x”, lo cual sugiere coeficientes de regresión y de correlación
negaticos (basado en la Tabla 1)
Figura 1b Los mismos datos que en 1a Fig. 1a, pero
ajustados en base a la regresión y = 2,16 - 0,173x, con r = 0,75
La cual proporciona el valor del “coeficiente de
determinación” (r²). Entonces, lo único necesario es calcular
Es decir, tomar la raíz indicada del coeficiente de
determinación a los fines de obtener el valor absoluto de “r”, y luego agregar
el signo (+ o -) de acuerdo a que la correlación sea positiva o negativa (lo
cual puede ser establecido visualmente a partir del gráfico, o bien en base al
cálculo del valor de “b” de la correspondiente regresión y utilizando para “r”
el mismo signo).
Cuando se calculan los valores de “r” se querrá saber, sin
embargo, hasta qué punto la correlación identificada pudiera haber surgido
únicamente por casualidad. Esto puede ser establecido verificando si el valor
estimado de “r” es “significativo”, es decir si el valor absoluto de “r” es mayor o igual que
un valor “crítico” de “r” indicado en las tablas estadísticas (ver Tabla de
valores críticos de “r” en el Apéndice 1).
Ejercicio: Calcule “a”, “b” y “r” a partir de los datos
presentados en la Tabla 1 y verifique, por medio de la Tabla del Apéndice 1,
hasta qué punto el valor estimado de “r” es significativo para valores de P =
0,01 y de P = 0,05
Transformación Lineal en el Análisis de Regresión
Como se indicara anteriormente, tanto el análisis de
regresión como el de correlación se basan en la asunción de una relación
“lineal” entre las dos variables de referencia (lo cual significa que la mejor
línea de ajuste es una recta). Hay muchos casos en biología pesquera, sin
embargo, en los cuales la relación entre ambas variables no es lineal, y un
buen ejemplo de ello es la relación largo-peso, donde:
W = α · Lb
|
(6)
|
Ecuación que indica que el peso (W) es proporcional a una
cierta potencia (b) de la longitud (L) (ver Figura 2a).
Los datos largo-peso, sin embargo, pueden ser ajustados a una
regresión lineal si se toma el logaritmo de ambos miembros, de manera que:
log10W = a + b log10L
|
(7)
|
Como puede observarse en la Figura 2b, los logaritmos de la
longitud y del peso se ajustan extremadamente bien a una regresión lineal,
donde:
y = log10W
|
(8a)
|
y
x = log10L
|
(8b)
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